Noticias #eXplora <a href="https://static4.abc.es/media/ciencia/2020/10/30/mat-kfIG--620x349@abc.jpg">Media</a>Entre las muchas citas que uno escucha sobre casi cualquier asunto (normalmente con el suficiente ingenio como para llamar la atención y alguna parte de verdad que redondeé la frase y nos haga reflexionar o, al menos, para que esbocemos una sonrisa) en alguna ocasión he leído u oído que las matemáticas es la disciplina en la que las cosas o son útiles o son divertidas. La construcción disyuntiva de la sentencia implica que no pueden darnos algo útil y a la vez divertido (algo que no comparto, pero de esto podemos hablar otro día). Hoy voy a contarles algo entretenido, más que divertido, y por ahora, completamente inútil (de modo que los aficionados al estoparaquesirve, vayan pensando otra pregunta más original): los números de Friedman. Se han bautizado con ese nombre a aquellos números enteros que puedan expresarse con los dígitos con los que están formados utilizando las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) junto a las potencias y los paréntesis. Por ejemplo: Si nos fijamos un poco, los dígitos aparecen en el segundo miembro en el mismo orden que su expresión decimal. No es necesario para que sea un número de Friedman. En otras palabras, también son números de Friedman: Estaremos no obstante de acuerdo en que quedan mejor en el mismo orden. Por ello se les ha añadido en ese caso el calificativo de simpáticos: números de Friedman simpáticos . También he visto el adjetivo agradables. No sé muy bien a quien se debe esa expresión (en el original en inglés se denominan, nice Friedman numbers; quizá yo sea un poco «soso» pero considero, en ambos idiomas, que una expresión más acorde sería la de números de Friedman propios, pero, en fin, como se suele decir, doctores tiene la Santa Madre Iglesia). ¿Lo hemos entendido? ¿Seguro? Obsérvese en los dos ejemplos anteriores que pueden utilizarse números de más de una cifra, con tal de que sus dígitos sean del número inicial. Así para el 121 podemos utilizar el 11, o para el 1022 la potencia 10. Lo que no se puede es poner ceros delante del número, porque entonces cualquier número sería de Friedman. El 24, por ejemplo, podríamos ponerlo como 024 = 20 + 4. Entonces podríamos hacer esa jugada con cualquier número porque bastaría con añadir tantos ceros delante como nos hicieran falta para descomponerlo en suma: Y así sucesivamente, de modo que no vale poner ceros por delante. Bien, esto aparentemente no es más que un pasatiempo, con el que «entretener» a los alumnos para que practiquen un poco el cálculo y las operaciones (¿o quizá no?). Pero como los matemáticos no podemos dejar las cosas en algo tan «trivial», podemos empezar a hacernos preguntas. Por ejemplo, ¿existen infinitos números de Friedman, o sólo son un capricho curioso de unos pocos números? ¿Cómo podemos demostrar que hay, o no, infinitos? En realidad, aunque lo parezca, resolver esa cuestión no es demasiado complicado, …, si han entendido bien la pregunta, porque en matemáticas muchas veces nos obcecamos con lo que creemos entender y no con lo que en realidad es. Probar que existen infinitos números de Friedman no quiere decir «encontrarlos todos» (entre otras cosas porque si son realmente infinitos, nunca terminaríamos, salvo que pudiéramos describirlos con una fórmula). Nos bastará con encontrar una expresión que agrupe a infinitos de ellos, aunque no sean todos. Y esa expresión existe y alguien la ha encontrado y nos la ha legado: para todo n > 0. Está claro que el número n es tan grande como queramos (puede tomar infinitos valores, por tanto), y que 161051 es igual que 115. En el segundo miembro se han utilizado los tres unos, el seis, el cinco, pero, ¿por qué esa suma de ceros? Si n = 1, el número es: Si cuentan el número de ceros que aparecen (para eso les he incluido una separación cada tres dígitos), son 18 x 3 + 1, o sea 55. En la expresión del segundo miembro, recopilemos…